Chuyên đề: Tìm GTLN,GTNN của hàm số

Tìm GTLN,GTNN của hàm số

A. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số

Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên miền các định hay một khoảng.

Phương pháp:

Tìm tập xác định
Tính
Giải phương trình (các điểm tới hạn ) và tính giá trị tại các điểm tới hạn .
Lập bảng biến thiên , căn cứ bảng biến thiên $\Rightarrow$ GTLN,GTNN.

Bài toán 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn [a,b]

Phương pháp:

Tính
Giải phương trình , để tìm các nghiệm ${x_1;x_2;...;x_n}\in[a;b]$
Tính các giá trị và
GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm
GTNN là số bé nhất trong các giá trị vừa tìm.

Ví dụ:

a) Tìm giá trị lớn nhất , giá tẹi nhỏ nhất của hàm số: $y=\sqrt {2x-x^2}$
b) Tìm giá trị lớn nhất , giá tẹi nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{x^2+x+1}{x}$ trên đoạn $\left[{\frac{1}{2};2}\right]$

Hướng dẩn giải:

Tập xác định : D=[0;2]
$y'=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$
$\Leftrightarrow$ $\Rightarrow$
Bảng biến thiên:( các em tự lập)
Kết luận:

$\max \mathop {f(x)}\limits_{\left[ {0,2} \right]}=f(1)=1$

$\min \mathop {f(x)}\limits_{\left[ {0,2} \right]}=f(0)=0$

$y'=\frac{x^2-1}{x^2}$
$\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\left[\begin{array}{l} x=1\in\left[\frac{1}{2};2\right] \\ x=-1\notin\left[\frac{1}{2};2\right] \end{array}\right.$
Ta có $y(\frac{1}{2})=\frac{7}{2}$ , , $y(2)=\frac{7}{2}$
Kết luận:

$\mathop{\min}\limits_{[\frac{1}{2};2]}f(x)=f(2)=f(\frac{1}{2})=\frac{7}{2}$

$\mathop{\max}\limits_{\left[{\frac{1}{2};2}\right]} f(x)=f(1)=3$

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số

trên đoạn

trên đoạn

trên đoạn

Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số

a) $y=f(x)=2sinx-\frac{4}{3}\sin ^2 x$ trên đoạn $[0;\pi]$ .

trên đoạn

trên đoạn $\left[ {-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ .

Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm số

a) $y=f(x)=(x+2)\sqrt{4-x^2}$

b) $y=f(x)=(3-x)\sqrt{x^2+1}$

c) $y=f(x)=x-5+\sqrt{4-x^2}$

B. Tìm điều kiện để hàm số y = f(x,m) có GTLN (GTNN) trên đoạn [a; b] là một số cho trước

Phương pháp giải:

Giả sử bài toán yêu cầu: Tìm giá trị của tham số

để hàm số

có giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) trên đoạn [a;b]

là

(là m), ta có thể tiến hành theo một tring các cách sau.

Chú ý: Hàm số y=f(x,m)

liên tục trên [a;b]

Cách 1:

Tính đạo hàm
Gải phương trình để tìm các nghiệm ${x_1;x_2;...;x_n}\in[a;b]$
Tính các giá trị và
Từ các kết quả trên, xác định GTLN (GTNN) của hàm số , giả sử là
Giải phương trình để tìm nghiệm
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.

Cách 2:

Xác định điều kiện để bất phương trình : $f(x)\le M$ được thỏa mãn $\forall x \in [a;b]$
Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của thỏa điều kiện vừa nêu
Xác định điều kiện để phương trình: có nghiệm $x\in [a; b]$
Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của thỏa điều kiện
So sánh các giá trị của m tìm được ở các bước 2 và 3 để chọn ra giá trị m thỏa bài toán
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.

Cách 3:

Tính đạo hàm
Giải phương trình để tìm các nghiệm ${x_1;x_2;...;x_n}\in[a;b]$
Tính các giá trị và
Lần lượt giải các phương trình: để tìm các nghiệm của chúng
Thay vào hàm số và kiểm tra trực tiếp xem giá trị thực sự thỏa bài toán để nhận hoặc loại giá trị
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.